Олимпиадная задача по многочленам и графикам для 8–11 класса от Фельдмана К.Э.

  Рассмотрим многочлены  P(x) = (x – a₁)(x – a₂)(x – a₃)  и  Q(x) = (x – b₁)(x – b₂)(x – b₃).  Из условия следует, что эти многочлены отличаются только свободным членом (достаточно раскрыть скобки). Поэтому график одного многочлена получается из графика другого сдвигом по оси ординат.

  При x ≤ b₁ имеем Q(x) ≤ 0. Действительно, каждый из трёх множителей в выражении для Q(x) неположителен, а произведение трёх неположительных чисел неположительно.   Итак,  Q(a₁) ≤ 0,  P(a₁) = 0.  Значит, график  y = Q(x)  получается из графика  y = P(x)  сдвигом вниз или совпадает с ним. В частности,  Q(a₃) ≤ P(a₃) = 0.  Но при  x > b₃  имеем  Q(x) > 0.  Следовательно,  a₃ ≤ b₃.