Олимпиадная задача: многочлен с целыми коэффициентами для суммы корней √7 и √11

Введем обозначения  a = ,  b = ,  x = a + b.  Заметим, что  ab = 1,  то есть  x = a + ¹/_a.  Воспользуемся формулами

    Подставляя значение  a³ +¹/_a³  из второго равенства в первое, получаем

Отсюда, учитывая, что  a⁵+b⁵= 4,  получаем  x⁵= 4 + 5(x³ – 3x) + 10x,  или  x⁵– 5x³ + 5x– 4 = 0.