Олимпиадная задача по алгебраическим неравенствам для 8‑10 классов от Егорова и Бугаенко

Решение 1:Отложим на сторонах угла 60° с вершиной O отрезки  OA = a  и  OB = b.  По теореме косинусов и в силу равенства  a² + b² – ab = c²  длина отрезка AB равна c. Так как в треугольнике OAB угол при вершине O средний по величине, то и сторона c средняя, то есть либо  b ≤ c ≤ a,  либо  a ≤ c ≤ b.  В обоих случаях  (a – c)(b – c) ≤ 0.

Решение 2:Данное равенство можно записать как в виде  (a – c)(a + c) = b(a – b),  так и в виде  (b – c)(b + c) = ac(b – a).  Перемножив, получим

(a – c)(b – c)(a + c)(b + c) = – ab(a – b)².  Правая часть, очевидно, неположительна, а множитель  (a + c)(b + c)  в левой части положителен. Следовательно,  (a – c)(b – c) ≥ 0.