Задача № 216884
Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.
Олимпиадные задачи из источника «17 турнир (1995/1996 год)»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208114
В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник KLMN – параллелограмм. б) Найдите все такие точки.
Задача № 208075
Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности?
Задача № 208074
Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего. Найдите углы этого треугольника, если известно, что все они выражаются целым числом градусов.
Задача № 208073
Заданы две непересекающиеся окружности с центрами O1 и O2 и их общая внешняя касательная, касающаяся окружностей соответственно в точках A1 и A2. Пусть B1 и B2 – точки пересечения отрезка O1O2 с соответствующими окружностями, а C – точка пересечения прямых A1B1 и A2B2. Докажите, что прямая, проведённая через точку C перпендикулярно B1B2, делит отрезок A1A2 пополам.
Задача № 208071
Прямоугольник ABCD с площадью 1 сложили по прямой так, что точка C совпала с A. Докажите, что площадь получившегося пятиугольника меньше ¾.
Задача № 208009
Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.
Задача № 208008
AK – биссектриса треугольника ABC, P и Q – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что PA = PK и QA = QK. Докажите, что ∠PAQ = 90° – ½ ∠A.
Задача № 208003
На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?
Задача № 207812
В углу шахматной доски размером m×n полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?
Задача № 207802
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них. б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
Задача № 203811
Можно ли вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·100! один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?
Задача № 198312
В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что: а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0; б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка. (Строки складываются покоординатно как векторы.)
Задача № 198311
Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел n – 1, n, n + 1, что: a) n представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых положительных) чисел, а n – 1 и n + 1 – нет; б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.
Задача № 198310
В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число R (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше R от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число r (радиус) и т. д., причём R и r не обя...
Задача № 198309
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Найдите сумму n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей: а) при n = 3; б) при произвольном n.
Задача № 198308
Кузнечик вначале сидит в точке M плоскости Oxy вне квадрата 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (координаты M – нецелые, расстояние от M до центра квадрата равно d). Кузнечик прыгает в точку, симметричную M относительно самой правой (с точки зрения кузнечика) вершины квадрата. Докажите, что за несколько таких прыжков кузнечик не сможет удалиться от центра квадрата более чем на 10d.
Задача № 198307
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Задача № 198306
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN, BCKL, ACPQ. На отрезках NQ и PK построены квадраты NQZT и PKXY. Разность площадей квадратов ABMN и BCKL равна d. Найдите разность площадей квадратов NQZT и PKXY а) в случае, если угол ABC прямой, б) в общем случае.
Задача № 198305
Можно ли разбить все пространство на правильные тетраэдры и октаэдры?
Задача № 198303
Девять цифр: 1, 2, 3, ..., 9 выписаны в некотором порядке (так что получилось девятизначное число). Рассмотрим все тройки цифр, идущих подряд, и найдём сумму соответствующих семи трёхзначных чисел. Каково наибольшее возможное значение этой суммы?
Задача № 198302
Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них a человек считают, что будет лучше, b – что будет такой же, и c – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных: m = a + b/2 и n = a – c. Оказалось, что m = 40. Найдите n.
Задача № 198301
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Докажите,что сумма n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей, равна 30°: а) при n = 3; б) при произвольном n.
Задача № 198298
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Задача № 198296
Положительные числа a, b, c таковы, что a² + b² – ab = c². Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.
1–25 из 41