Задача № 207793
Разрезать отрезок [–1, 1] на чёрные и белые отрезки так, чтобы интегралы от любой а) линейной функции; б) квадратного трёхчлена по белым и чёрным отрезкам были равны.
Кондаков Г. В.
5 задачЗадача № 207766
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.
Задача № 198312
В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что: а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0; б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка. (Строки складываются покоординатно как векторы.)
Задача № 198268
а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам. (Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).) б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?
Задача № 198172
Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше: а) 700 м? б) 800 м? (Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)