Олимпиадная задача по стереометрии и теории чисел: сфера с одной рациональной точкой
Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)
Показать ответ
Существует.
Разобрать решение
Рассмотрим сферу с уравнением (x – 
)² + y² + z² = 2. Точка O с координатами (0, 0, 0) – рациональная точка, лежащая на этой сфере. Допустим что на сфере есть другая рациональная точка (x, y, z). x ≠ 0, так как при x = 0 имеется единственное решение (0, 0, 0). Раскроем скобки:
x² – 2x + 2 + y² + z² = 2 или 
Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.