Олимпиадная задача Шаповалова А. В. о числовой последовательности и многочленах для 9-10 классов

  а) Вот пример последовательности из 10 членов:  1, 2¹⁰, 2¹⁸, 2²⁴, 2²⁶, 2²⁶, 2²⁴, 2¹⁸, 2¹⁰, 1.  Здесь для каждой тройки чисел a_n, a_n+1, a_n+2 выполнено условие    которого достаточно для существования действительного корня уравнения  a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0.   б) Для такой последовательности при каждом натуральном n  ,  то есть   .   Следовательно,     Поэтому  a_n+1 < a_n  при "больших" n, то есть последовательность убывает. Противоречие: последовательность из натуральных чисел бесконечно убывать не может.