Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии: разрезание правильного шестиугольника на параллелограммы

  Если s – площадь параллелограмма, а S – площадь шестиугольника ABCDEF, то  Ns = S.

  Начав с произвольного параллелограмма KLMN, построим цепочку параллелограммов со сторонами, параллельными KL (см. решение задачи 197796). Эта цепочка закончится на одной из сторон шестиугольника, значит, KL параллельна одной из этих сторон. Итак, стороны каждого параллелограмма параллельны сторонам шестиугольника.

  Рассмотрим фигуру, составленную из всех параллелограммов со стороной, параллельной AB (будем считать её вертикальной). Ее можно разрезать на цепочки, начинающиеся на AB и кончающиеся на DE, в каждую из которых входят параллелограммы с постоянной вертикальной стороной a (см. там же). Сумма горизонтальных высот этих параллелограммов равна расстоянию h между AB и DE, поэтому общая площадь цепочки равна ah. Сумма "начальных" сторон всех цепочек равна AB, поэтому площадь всей фигуры равна площади фигуры ABCDEO (O – центр шестиугольника), то есть ^2S/₃. Следовательно, количество параллелограммов площади s со сторонами, параллельными AB, равно  ^2S/_3s = ^2N/₃.  Отсюда ясно, что N кратно 3.