Задача № 208611
Пусть a, b, c – длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC, γ = ∠C. Докажите, что c ≥ (a + b) sin γ/2.
Прасолов В. В.
16 задачЗадача № 208058
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон. Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
Задача № 208053
Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла. Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.
Задача № 208001
Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.
Задача № 198452
Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?
Задача № 198418
В таблицу записано девять чисел: Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3. Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов: a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3=a1a2a3+b1b2b3+c1c2c3.
Задача № 198149
Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что P – Q, P и P + Q – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?
Задача № 198130
Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A1B1C1, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC (B1C1 || PA, C1A1 || PB, A1B1 || PC). Через точки A1, B1, C1 проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A1B1C1.
Задача № 198030
Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.
Задача № 197793
а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что (O – центр n-угольника). б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна где O – центр тетраэдра.
Задача № 197767
M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
Задача № 179391
Дано числоx, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство [] = []?
Задача № 155380
Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3 на его стороны. Докажите, что + + = . , гдеO— центр треугольника.
Задача № 155136
Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2nтреугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных а) для n= 4, б) для n= 3, в) для произвольногоn.
Задача № 153557
Пусть P и Q – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N – середины диагоналей AC и BD. Докажите, что если MN и PQ перпендикулярны, то BC = AD.
Задача № 152488
Окружность S2 проходит через центр O окружности S1 и пересекает её в точках A и B. Через точку A проведена касательная к окружности S2. Точка D – вторая точка пересечения этой касательной с окружностью S1. Докажите, что AD = AB.