Олимпиадная задача по планиметрии: средний угол между цветными векторами (9-10 класс)
Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.
Разобрать решение
Пусть α = 360°/N. Среднее значение угла между фиксированным красным вектором и всеми остальными векторами равно
1/N–1 (α + 2α + ... + (N –1)α) = Nα/2 = 180°. Значит, среднее значение угла "красный вектор – любой вектор" тоже равно 180°.
Сумма двух углов между двумя фиксированными красными векторами равна 360°. Поэтому среднее значение угла между ними равно 180°. Значит, среднее значение угла "красный вектор – красный вектор" тоже равно 180°.
Следовательно, и среднее значение угла "красный вектор – синий вектор" равно 180°.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.