Операции со строками и столбцами в таблице 100×100 – задача Зелевинско

  Пусть в i-й строке мы изменили знак x_i раз, в k-м столбце – y_k раз. Тогда в клетке, стоящей на пересечении i-й строки и k-го столбца, знак изменится

x_i + y_k  раз. Следовательно, в этой клетке будет стоять минус в том и только в том случае, когда  x_i + y_k  нечётно. Таким образом, общее количество минусов в полученной таблице зависит только от чётности чисел x_i и y_k. Пусть x – количество нечётных чисел среди x_i, y – количество нечётных чисел среди y_k. Тогда, как нетрудно посчитать, общее число минусов в таблице будет равно  x(100 – y) + (100 – x)y = 100x + 100y – 2xy.

  Предположим, что нам удалось получить ровно 1970 минусов. Тогда  1970 = 100x + 100y – 2xy,  или  (x – 50)(y – 50) = 1515 = 15·101.

  Поскольку число 101 простое, то либо  х – 50,  либо  y – 50  делится на 101. Но это невозможно, так как  |x − 50| ≤ 50  и  |y − 50| ≤ 50  (равняться нулю эти множители тоже не могут). Противоречие.