Задача № 21048510 класс11 класс5 / 5
Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны: 1) все грани равновелики; 2) каждое ребро равно противоположному; 3) все грани равны; 4) центры описанной и вписанной сфер совпадают; 5) суммы углов при каждой вершине равны; 6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180o ; 7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии; 8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности; 9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;...
Задача № 17876110 класс11 класс4 / 5
Имеется натуральное число n > 1970. Возьмём остатки от деления числа 2n на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.
Задача № 1787598 класс9 класс10 класс3 / 5
Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.
Задача № 17875810 класс11 класс5 / 5
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
Задача № 1787568 класс9 класс10 класс3 / 5
Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?
Задача № 1787559 класс10 класс3 / 5
Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?
Задача № 1787199 класс10 класс11 класс3 / 5
В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, з...
Задача № 1785958 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров, а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.
Задача № 1782148 класс9 класс10 класс2 / 5
Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.
Задача № 1735957 класс8 класс9 класс2 / 5
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Задача № 1735947 класс8 класс9 класс3 / 5
При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?
Задача № 1735928 класс9 класс10 класс3 / 5
a) Найдите числоk, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 иk). б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.
Задача № 1735908 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не большеn цифр,разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а вовторое —c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числаk £ nсуммаk-х степенейвсех чисел первого множества равна суммеk-х степенейвсех чисел второго множества.
Задача № 1735898 класс9 класс3 / 5
Автор: Г.А.Гальперин Два одинаковых прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Задача № 1735867 класс8 класс9 класс3 / 5
Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.
Задача № 1735848 класс9 класс10 класс3 / 5
На карточках написаны все числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки выложили в цепочку в произвольном порядке. Докажите, что полученное 444445-значное число не является степенью двойки.
Задача № 1735838 класс9 класс10 класс4 / 5
БиссектрисаAD, медианаBMи высотаCHостроугольного треугольникаABCпересекаются в одной точке. Докажите, что величина углаBACбольше 45°.
Задача № 1735828 класс9 класс10 класс2 / 5
Из цифр 1 и 2 составили пять n-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в m разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение m/n не меньше ⅖ и не больше ⅗.
Задача № 1735817 класс8 класс9 класс2 / 5
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?
Задача № 1735808 класс9 класс10 класс4 / 5
а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это. б) Из любых 2n – 1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Докажите это.
Задача № 1735798 класс9 класс10 класс3 / 5
Для любого натуральногочисла Kсуществует бесконечно много натуральныхчисел Т,не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифрчисла KТравна сумме цифрчисла Т.Докажите это.
Задача № 1735787 класс8 класс9 класс3 / 5
Каждая сторона равностороннего треугольника разбита наn равныхчастей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит наn2треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке?
Задача № 1735758 класс9 класс10 класс4 / 5
Найдите суммы а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1. б) Sn,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).
Задача № 1735749 класс10 класс11 класс4 / 5
Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a0 = 0, a1 = 1, a2 = m, a3 = m² – 1, a4 = m³ – 2m, a5 = m4 – 3m² + 1, ..., в которой ak+1 = mak – ak–1 для любого k 0. Докажите это.
Задача № 1735729 класс10 класс11 класс4 / 5
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы. а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены. б) Докажите, что можно взять c = 4. в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3. г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.