Олимпиадная задача: делимость чисел в бесконечной последовательности,

  Будем считать, что нам задана бесконечная последовательность цифр a₁, a₂, ..., a_i, ..., записанная слева направо. Рассмотрим числа: a_m,  a_m–1a_m,  a_m–2a_m–1a_m,  ...,  a₁a₂...a_m  (черта, как обычно, обозначает десятичную запись числа). Если  m > n,  то найдутся два числа  a_m–i...a_m  и  a_m–j...a_m,  где

i < j,  дающие при делении на n одинаковый остаток. Поэтому их разность  a_m–j...a_m–i–10...0 = 10ⁱ⁺¹·a_m–j...a_m–i–1  делится на n.

  По условию n и 10 взаимно просты, следовательно,  a_m–j...a_m–i–1  делится на n.