Олимпиадная задача по делимости: 2^b-1 делится на нечетное a

Рассмотрим числа  2⁰ – 1,  2¹ – 1,  ...,  2^a – 1.  Этих чисел  a + 1.  Какие-то два из них дают одинаковые остатки при делении на a, потому что различных таких остатков существует всего a. Пусть, скажем, числа  2^k – 1  и  2^m – 1  дают одинаковые остатки при делении на a и  k < m.  Тогда число  (2^m – 1) – (2^k – 1) = 2^k(2^m–k – 1)  делится на a и, поскольку a нечётно,  2^m–k – 1  делится на a.