Олимпиадная задача: уменьшение видимой тени от перевёрнутого ведра
На плоскости стояло ведро, верхнее основание больше нижнего. Ведро перевернули. Докажите, что площадь его видимой тени уменьшилась. (Ведро — это прямой круговой усечённый конус: его основания — два круга, лежащие в параллельных плоскостях, центры кругов лежат на прямой, перпендикулярной этим плоскостям. Видимая тень — это вся тень, кроме тени под ведром. Солнечные лучи считайте параллельными.)
Разобрать решение
Верхнее основание параллельно плоскости, поэтому оно параллельно перенесётся светом.
(То есть, тень круга, параллельного плоскости, — круг того же размера, лежащий в плоскости основания, с центром в «тени» центра круга.)
Усечённый конус является выпуклой оболочкой своих оснований. Поэтому полная тень в обоих случаях — это выпуклая оболочка двух кругов, равных основаниям. При переворачивании ведра центры оснований меняются местами друг с другом, поэтому соединяющий их отрезок одинаково спроектируется в обоих случаях. Следовательно, полные тени равны (симметричны друг другу).
(На рисунке изображен случай, когда тени верхнего и нижнего оснований не пересекаются, но они могут пересекаться; меньшая тень даже может лежать внутри большей.)
Видимая тень получается удалением из полной тени нижнего основания. Поэтому у перевёрнутого ведра видимая тень меньше.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.