Олимпиадная задача: перпендикулярность в остроугольном треугольнике

Заметим, что $M$ и $N$ — середины дуг $AB$ и $BC$ соответственно. Поэтому треугольники $MBN$ и $MIN$ равны по общей стороне и двум прилежащим углам. Значит, треугольники $MBX$ и $MIX$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда $$\angle KIC = \angle MIX = \angle MBX =\angle MBA + \angle ABO =\ =\frac12\angle C + \frac12(180^\circ - \angle2C) = 90^\circ - \angle KCI,$$ то есть угол $IKC$ прямой, что и требовалось.