Многочлены и кубы: олимпиадная задача для 8-11 классов от Бутырина

Решение 1:Предположим противное – существуют такие многочлены $f$ и $g$, что выполнено тождество $x(x-1)\dots(x-n)=f^3+g^3$. Тогда $$x(x-1)\dots(x-n)=(f+g)(f^2-fg+g^2). \quad ()$$При$x=0$,$1$,$\dots$,$n$имеем$f^3(x)=-g^3(x)$, откуда$f(x) = -g(x)$, то есть$f(x)+g(x) = 0$. Значит, многочлен $f + g$ имеет корнями числа $0$, $1$, $2$, $\dots$, $n$, откуда его степень не меньше $n+1$ (поскольку он не тождественный ноль). В частности, у одного из многочленов $f$ и $g$ степень не меньше $n+1$ – не теряя общности, пусть у $g$. Тогда, из равенства $()$, степень многочлена$f^2-fg+g^2$равна 0, то есть это ненулевая константа. Но это невозможно, так как из представления$f^2-fg+g^2 =(f-0{,}5g)^2+0{,}75g^2$видно, что у этого многочлена старшая степень не меньше, чем максимум из степеней многочленов$(f-0{,}5g)^2$и$0{,}75g^2$, то есть, не меньше$2(n+1)$. (Можно сказать иначе:$0{,}75g^2$принимает сколь угодно большие значения, откуда$(f-0{,}5g)^2 + 0{,}75g^2$ тоже, то есть, последний многочлен не может быть константой).

Решение 2:У многочленов $f$ и $g$ нет общих корней, иначе это будет кратный корень суммы кубов, а у многочлена $x(x-1)\dots(x-n)$ кратных корней нет. Тогда многочлен $f^2- fg+g^2$ имеет степень $2\max(\deg f,,\deg g)$ (старшие коэффициенты не сократятся) и не имеет корней, поскольку выражение $a^2-ab + b^2$ равно 0 только при $a = b = 0$. Но такого делителя у многочлена $x(x-1)\dots(x-n)$ нет.