Математическая задача о разности чисел в таблице 2×2024 — теория чисел

 Лемма. Пусть $k$ и $l$ – натуральные числа, причём $\text{НОК}(k, l) < k + l$. Тогда $k + l$ делится на $k$ или на $l$.  Доказательство. Пусть $d = \text{НОД}(k, l)$. По условию $kl < d(k + l)$, т.е. $(k – d)(l – d) < d^2$. Один из множителей меньше $d$ и делится на $d$, т.е. равен нулю. А $k + l$ делится на $d$. Лемма доказана.   Условие делимости не изменится, если все числа строки уменьшить на одно и то же целое число. Поэтому можно считать, что верхние числа находятся в пределах от 0 до 2022, а нижние – от 0 до $M$ (причём и 0, и $M$ присутствуют). Ясно, что $M$ > 2022. Разность чисел над 0 и $M$ делится на $M$, поэтому эти числа равны (пусть это число $b$).   Предположим, есть столбец вида $\binom{b+d}{k}$, где $d$ ≠ 0. Ясно, что $|d| \leqslant$ 2022. Сравнивая этот столбец со столбцами $\binom{b}{0}$ и $\binom{b}{M}$, видим, что $d$ делится как на $k$, так и на $M – k$. Поэтому $d$ делится на $\text{НОК}(k, M – k)$; по лемме $M$ делится на $k$ или на $M – k$. Как известно, у числа $M$ не более $2\sqrt{M}$ делителей, столько же дополнений этих делителей до $M$, значит, всего в верхней строке не более $4\sqrt{M}$ чисел, отличных от $b$. С другой стороны, и $k$, и $M – k$ не больше 2022, поэтому $M \leqslant$ 4044. Итак, в верхней строке не более $4\sqrt{4044}$ < 300 чисел, отличных от $b$. Зафиксируем один столбец вида $\binom{b+d}{k}$ и рассмотрим произвольный столбец вида $\binom{b}{k+q}$. По условию $d$ делится на $q$. Значит, в первой строке не более $4\sqrt{d} \leqslant 4\sqrt{2022}$ < 180 чисел $b$ ($q$ может быть как положительным, так и отрицательным). Но 300 + 180 < 2024. Противоречие.