Вписанные и вневписанные окружности: олимпиадная задача из планиметрии

Пусть вписанная окружность $\omega$ с центром $I$ касается стороны $AC$ в точке $H$, вневписанная окружность из условия касается стороны $AC$ в точке $K$, перпендикуляр $DF$ из условия пересекает $\omega$ в точке $X$. Поскольку $AD = AH$, $\angle A = 60^\circ$, то треугольник $ADH$ равносторонний, а $DF$ – его высота. Так как $\angle XIH = 2\angle XDH = 60^\circ = \angle AIH$, точка $X$ лежит на прямой $AI$, то есть является центром треугольника $ADH$. По свойствам касательных вписанной и вневписанной окружностям, $AE = AK = CH$. Кроме того, $AX = HX$, $\angle EAX = 150^\circ = \angle CHX$. Следовательно, треугольники $AXE$ и $HXC$ равны, откуда $XE = XC$.