Общие касательные и радиусы описанных окружностей. Олимпиадная задача

Лемма. Пусть $J$ – центр вневписанной окружности, $P$ – точка касания прямой $A_1B_1C_1$ с описанной окружностью. Тогда точки $C$, $J$, $C_1$, $P$ лежат на одной окружности. Доказательство. Пусть $W$ – вторая точка пересечения прямой $CJ$ с описанной окружностью. Тогда $UW\parallel C_1J$ и $\angle(PC,CJ)=\angle(PC_1,C_1J)$.

Утверждение леммы можно переформулировать следующим образом: $AA_1$, $AA_2$ – изогонали в угле $BAC$, причем $2\varphi=2\angle(A_2A,AA_1)=\angle(JP,PQ)$, где $P$,$Q$ – точки касания описанной и вневписанной окружности с общей касательной. Аналогичные равенства верны и для точек $B$, $C$. Поскольку $\angle(A_2A,AA_1)=\angle(B_2B,BB_1)=\angle(C_2C,CC_1)$, то $\angle(B_2B,C_2C)=\angle(BB_1,CC_1)$. Следовательно, $B$, $C$, $J$, $A_3=BB_1\cap CC_1$ и $A_4=BB_2\cap CC_2$ лежат на одной окружности, причем $J$ – середина дуги $A_3A_4$ и $\angle(A_4J,JA_3)=2\varphi$. Аналогичные равенства верны для других пар вершин треугольников $\Delta_1$, $\Delta_2$, поэтому поворот с центром $J$ на угол $2\varphi$ переводит один из треугольников в другой, что, очевидно, влечет утверждение задачи.