Соосность педальных окружностей изогонально сопряжённых точек — олимпи

Будем обозначать через $X_a$, $X_b$, $X_c$ проекции произвольной точки $X$ на $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Пусть $p$, $q$, $r$ – педальные окружности точек $P$, $Q$, $R$, а $M$, $N$, $K$ соответственно – их центры. Тогда $M$, $N$, $K$ лежат на прямой Гаусса четырехсторонника $PQP'Q'$. По теореме Менелая для треугольников $PQR'$ и $P'Q'R'$ ($R'$ изогонально сопряжена $R$). $$\frac{P'Q}{P'R'}\frac{Q'R'}{Q'P}\frac{PR}{RQ}=\frac{P'Q}{QR'}\frac{R'P}{PQ'}\frac{Q'R}{RP'}=1.$$ Следовательно, $$\frac{RP\cdot RP'}{RQ\cdot RQ'}=\frac{R'P\cdot R'P'}{R'Q\cdot R'Q'}.$$ По теореме Фалеса $$\frac{R_aP_a\cdot R_aP'_a}{R_aQ_a\cdot R_aQ'_a}=\frac{R'_aP_a\cdot R'_aP'_a}{R'_aQ_a\cdot R'_aQ'_a},$$ т.е. отношения степеней точек $R_a$, $R'_a$ относительно окружностей $p$ и $q$ равны. Следовательно, эти точки лежат на какой-то окружности, соосной с $p$ и $q$. Поскольку центр этой окружности лежит на прямой $MN$, она совпадает с $r$.