Шатунов Л. — автор

Задача № 1674348 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167434

Дан многочлен степени $n$ > 0 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме 1, –1 и –2.

Шатунов Л.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1673689 класс10 класс11 класс3 / 5

Пусть $(P,P')$ и $(Q,Q')$ – две пары точек, изогонально сопряженных относительно треугольника $ABC$ , $R$ – точка пересечения прямых $PQ$ и $P'Q'$ . Докажите, что педальные окружности точек $P$ , $Q$ и $R$ соосны.

Шатунов Л., Шеломовский В.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1673648 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167364

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ . Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$ . Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$ . Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$ .

Шатунов Л.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1673539 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167353

Через вершины $A$ , $B$ , $C$ треугольника $ABC$ провели прямые $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Отразим $a_1$ , $b_1$ , $c_1$ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника $ABC$ , получив $a_2$ , $b_2$ , $c_2$ . Пусть $A_1=b_1\cap c_1$ , $B_1=a_1\cap c_1$ , $C_1=a_1\cap b_1$ , аналогично определим $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ . Докажите, что у треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. $\frac{S_1}{R_1}=\frac{S_2}{R_2}$ , где $S_i=S(\triangle A_iB_iC_i)$ , $R_i=R(\triangle A_iB_iC_i)$ ).

Шатунов Л.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1673188 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167318

Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.

Шатунов Л.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1673139 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167313

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$ . Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$ , а лучи $DA$ и $CB$ – в точке $Q$ . Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$ , где $r_1$ и $r_2$ – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$ .

Шатунов Л.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1672539 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 167253

Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$ , $\omega_2$ , $\omega_3$ , $\omega_4$ с центрами $X$ , $Y$ , $Z$ , $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$ , $CA$ , $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$ , $\omega_3$ , $\omega_4$ в отношении $2:1$ , считая от $X$ .

Шатунов Л.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1672228 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 167222

Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ касается их в точках $T_1$ , $T_2$ соответственно. Пусть $A$ – произвольная точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_1$ , а $B$ – точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_2$ такая, что $AT_1=BT_2$ . Отличные от прямой $T_1T_2$ касательные из $A$ к $\omega_1$ и из $B$ к $\omega_2$ пересекаются в точке $C$ . Докажите, что нагелианы всех треугольников $ABC$ из вершины $C$ проходят через одну точку.

Шатунов Л.

Problems.ruОткрыть задачу →