Олимпиадная задача о точках Q на фиксированных прямых в задаче Кухарчу

Точка пересечения внешних касательных является центром окружности $\omega$, инверсия относительно которой меняет окружности $APC$ и $BPC$ местами. Рассмотрим инверсию с центром $C$, переводящую точки $A$, $B$, $P$ в $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Она переведет окружности $APC$, $BPC$ в прямые $A'P'$, $B'P'$ соответственно, окружность $\omega$ в биссектрису одного из углов между этими прямыми, а ее центр $Q$ в точку $Q'$, симметричную $C$ относительно этой биссектрисы. Поскольку биссектрисы углов между прямыми $P'A'$ и $P'B'$ проходят через две фиксированные точки – середины дуг $A'B'$ окружности $A'B'P'$, точка $Q'$ лежит на одной из двух окружностей с центрами в этих точках, проходящих через $C$. Образами этих окружностей при рассмотренной инверсии являются две фиксированные прямые.