Биссектрисы, проектирование и равенство углов — сложная олимпиадная за

Для любой точки отрезка $A_1C_1$ сумма расстояний от нее до прямых $AB$ и $BC$ равна расстоянию до $AC$ (поскольку это верно для концов отрезка). Так как точка $D$ равноудалена от $AB$ и $BC$, каждое из этих расстояний равно половине $DE$, т.е. $D$ – центр вписанной окружности треугольника $BPQ$. Поэтому $\angle EPQ=\angle DPB$ и $\angle EQP=\angle DQB$. Таким образом, точки $B$ и $E$ изогонально сопряжены относительно треугольника $DPQ$, откуда следует искомое равенство.