Олимпиадная задача: Биссектрисы и пересечения окружностей в треугольни

Так как $\angle A_1IC_1=120^{\circ}=180^{\circ}-\angle A_1BC_1$, окружности $ABC$ и $A_1IC_1$ пересекаются в точках $B$ и $P$. Поэтому треугольники $PA_1C$ и $PC_1A$ подобны, т.е. $PB_1:PC_1=A_1C:AC_1$. С другой стороны, поскольку $\angle AC_1I+\angle IA_1C=180^{\circ}$, то, применяя теорему синусов к треугольникам $AC_1I$ и $CA_1I$, получаем, что $A_1C:AC_1=IC:IA$. Следовательно, $\sin\angle PIA_1:\sin\angle PIC_1=IC:IA$ и $IP$ – медиана треугольника $IAC$.