Математическая задача: Углы и биссектриса в треугольнике с точкой K

Проекция окружности $\omega$ на себя из точки $T$ меняет местами $B$ с $C$ и $P$ с $A_0$, а точку $A$ оставляет на месте. Отсюда получаем равенство двойных отношений $(BCAA_0)=(CBAP)$, т.е. $\sin\angle BAP:\sin\angle CAP=PB:PC=AB^2:AC^2$. С другой стороны, применяя теорему синусов к треугольникам $AKC$ и $BKC$, получаем $\sin\angle CAK:\sin\angle BAK=(CK/AC):(BK/AB)=(AB/AC)\cdot (BL/AL)=AB^2:AC^2$, что влечет искомое равенство.