Окружность в треугольнике и четырёхугольник — задача по олимпиадной ма

Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ – середины $BD$, $AC$, $AE$, $CF$ соответственно. Так как $LM\parallel BC$ и $LN\parallel AB$, то $\angle MLN=\angle CBA$. С другой стороны, $\overrightarrow{KM}=(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BE})/2$, $\overrightarrow{KN}=(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BF})/2$, а, поскольку $DA=DC$, $BE=BF$ и угол между векторами $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{DC}$ равен углу между $\overrightarrow{BE}$ и $\overrightarrow{BF}$, то и угол $MKN$ равен этим углам.