Окружность, касающаяся сторон треугольника и проходящая через середину

Из условия следует, что $\angle PAQ=(\smile PMQ-\smile PQ)/2=\pi-\smile PQ=\pi-2\angle PMQ$, т.е. $\angle PMQ=\angle APQ$. Значит, $PM$ и $QM$ – биссектрисы углов $BPQ$, $CQP$ соответственно, а $M$ – центр вневписанной окружности треугольника $APQ$. Тогда, опустив перпендикуляры $MX$, $MY$ на $AB$, $AC$ соответственно, получим, что $PX=QY=PQ/2$. Кроме того, поскольку $MB=MC$, то $BX=CY$. Следовательно, $BP+QC=PX+XB+QY-YC=PQ$.