Коллинеарность точек при пересечении биссектрис и описанных окружносте

Пусть прямая $A_1C_1$ пересекает $AB$ в точке $A'$. Тогда $$\angle C_1A'A=(\smile AC_1+\smile BA_1)/2=(\smile AC_1+\smile A_1C)/2=\angle C_1IA.$$ Следовательно, точки $A$, $I$, $A'$, $C_1$ лежат на одной окружности и $A'$ совпадает с $A_0$. Аналогично получаем, что $A_1C_1$ проходит через $C_0$.