Олимпиадная задача на равенства дробей и произведения чисел

Решение 1:Перепишем условие в виде $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c} \ \Leftrightarrow \ \frac{a}{b} - \frac{d}{c} = \frac{c}{d} - \frac{b}{a} \ \Leftrightarrow \ \frac{ac-bd}{bc} = \frac{ac - bd}{ad}.$$ Если числитель дробей равен нулю, то $ac = bd$. В противном случае, если у равных дробей равны числители, то у них равны и знаменатели, то есть $bc = ad$.

Решение 2:Пусть $x_1 = \frac{a}{b}$, $x_2 = \frac{c}{d}$. Если $x_1 = x_2$, то $ad = bc$, поэтому далее будем считать, что $x_1 \neq x_2$. Обозначим значение левой и правой части равенства через $t$. Тогда условие переписывается в виде $$x_1 + \frac{1}{x_1} = x_2 + \frac{1}{x_2} = t.$$ Рассмотрим функцию $f(x) = x + \frac{1}{x}$. Числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x) = t$. Перепишем это уравнение в виде $$f(x) = t \ \Leftrightarrow \ x + \frac{1}{x} = t \ \Leftrightarrow \ x^2 - tx + 1 = 0.$$ Тогда по теореме Виета $$x_1x_2 = 1 \ \Leftrightarrow \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = 1 \ \Leftrightarrow \ ac = bd.$$