Олимпиадная задача о вписанной окружности и симметрии в треугольнике

Пусть $CI$ пересекает $AB$ в точке $N$. Угол $AIB$ тупой, а угол $NIB$ острый, значит $P$ лежит между $A$ и $N$. Далее $\angle AIP=\angle AIB-90^\circ=\angle ACB/2=\angle ACI$, $\angle CAI=\angle IAP$, значит треугольники $CAI$ и $IAP$ подобны. Учитывая это и равенство $QA=AI$, имеем $\frac{IC}{AC}=\frac{PI}{AI}=\frac{PI}{QA}$. Кроме того, $$\angle AIP+\angle AIC=\angle ACB/2 + (90^\circ+ \angle ABC/2)=180^\circ- \angle CAB/2,$$ тогда $\angle PIC= 180^\circ- \angle CAB/2 =180^\circ-\angle CAI= \angle QAC$. Тогда треугольники $QAC$ и $PIC$ подобны по углу и отношению прилежащих сторон, значит $\angle IPC=\angle AQC=\angle IQC$, и точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.