Олимпиадная задача: прямоугольный треугольник и углы

Решение 1:Точка $D'$, изогонально сопряженная $D$ относительно треугольника $ABC$, является проекцией $A$ на $CM$. Поэтому $MB^2=MA^2=MD'\cdot MC$, треугольники $BMC$ и $D'MB$ подобны и $\angle DBC=\angle D'BM=\angle BCM$.

Решение 2:Так как $CM$ – медиана, $AC:BC=\sin\angle MCB:\sin\angle MCA=\sin\angle ACD:\sin\angle DAC=AD:CD$, т.е. $AC:AD=BC:CD$. Кроме того, $\angle CAD=\angle ACM=\angle BCD$. Следовательно, треугольники $ACD$ и $BDC$ подобны и $\angle DBC=\angle ACD$.