Подобие треугольников через биссектрисы в $ABC$

Так как $A_1$, $B_1$, $C_1$ – середины дуг $BC$, $CA$, $AB$ соответственно, то дуги $B_1C$ и $A_1C_1$ составляют в сумме полуокружность, а значит, прямые $CC_1$ и $A_1B_1$ перпендикулярны. Поэтому прямые $A_1A$, $B_1B$, $C_1C$ являются высотами треугольника $A_1B_1C_1$, а точка $I$ их пересечения – его ортоцентром. Точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ являются проекциями центра $O$ окружности $ABC$ на $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, следовательно, они лежат на окружности с диаметром $OI$. Тогда $\angle B_2A_2C_2=\angle B_2IC_2=\angle B_1A_1C_1$. Аналогично получаем, что $\angle A_1B_1C_1=\angle A_2B_2C_2$, а значит, треугольники подобны.