Доказательство равенства отрезков в треугольнике $ABC$

Сделаем гомотетию с центром $A$, переводящую вневписанную окружность в вписанную. Пусть $B'$, $C'$, $M'$, $Q'$, $Y'$ – образы точек $B$, $C$, $M$, $Q$, $Y$ соответственно. Тогда $BB'C'C$ – трапеция, описанная около вписанной окружности треугольника, обозначим точки касания окружности со сторонами $BC$, $B'C'$, $BB'$, $CC'$ через $K$, $L$, $U$, $V$ соответственно. По теореме Брианшона точка $J$ пересечения отрезков $KL$ и $UV$ совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции и, следовательно, лежит на $AM$.При этом $JK:JL=BC:B'C'$. Четырехугольник, образованный прямыми $PX$, $BC$, $Q'Y'$ и $B'C'$, описан вокруг той же окружности, значит его диагональ $XY'$ тоже проходит через $J$ и $XM:Y'M'=JK:JL$. Сделав обратную гомотетию, получаем искомое равенство.