Треугольник ABC: доказательство о точке R - задача olympia

а) Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $OP\perp AB$ и $OQ\perp BC$. Кроме того, $\angle NQA=\angle NBP=\angle A$ и аналогично $\angle MPC=\angle C$. Поэтому $\angle PRQ+\angle POQ=\pi$ и четырехугольник $OPRQ$ – вписанный. Следовательно, $\angle PRO=\angle PQO=\pi/2-\angle C$, т.е. диагонали четырехугольника перпендикулярны и $AR=AC$. б) Из п.а) следует, что треугольники $QRP$ и $ABC$ ортологичны с центром $O$ (то есть перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника $QRP$ на стороны $ABC$ пересекаются в точке $O$). Кроме того, они перспективны с центром $S$ (прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников, пересекаются точке $S$). По теореме Сонда прямая $OS$ перпендикулярна оси перспективы – прямой $MN$.