Олимпиадная задача: окружности и треугольники

Пусть $M$, $N$ и $K$ – середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$; $H$ – основание высоты, проведённой из вершины $B$. Тогда $H$ является точкой пересечения $BP$ и $AC$. Ясно, что $MN \parallel AC \parallel PL$, значит, $MPLN$ – трапеция. Кроме того, $MN \parallel KH$, а $NK = \frac12 AB = MH$, поэтому $MHKN$ – равнобокая трапеция. Тогда $\angle MHP=\angle NKL$, $MH=KN$. Также понятно, что $PH=KL$. Значит, равны и треугольники $MHP$ и $NKL$, то есть $MPLN$ – равнобокая трапеция, а тогда точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.