Олимпиадная задача: Центры окружностей и трапеция

Пусть окружность $AQC$ вторично пересекает прямую $AP$ в точке $X$, а окружность $BQD$ вторично пересекает прямую $DP$ в точке $Y$. Тогда $\angle AXC=\angle CQD=\angle BQA=\angle BYD$. Следовательно, точки $B$, $C$, $X$, $Y$ (а значит, и $A$, $D$, $X$, $Y$) лежат на одной окружности, т.е. $PX:PY=PC:PB=PD:PA$ и $PQ$ – радикальная ось окружностей $AQC$ и $BQD$.