Степень круга и углы: олимпиадная задача по планиметрии

Отразив $X$ относительно биссектрисы угла $B$, получим точку $X'$ на луче $BY$. Надо доказать, что четырехугольник $ILYX'$ – вписанный, т.е., что $BI\cdot BL=BX\cdot BY$. Заметим, что $L$ – середина $BI_B$, где $I_B$ – центр вневписанной окружности. Тогда нужно доказать, что $2BX\cdot BY=BI\cdot BI_B=AB\cdot BC$. Пусть $X''$ – точка пересечения $AC$ и $BX$. Тогда треугольники $X''BA$ и $CBY$ подобны, поскольку $\angle BX''A=\angle BXY=\angle BCY$ и $\angle XBA=\angle CBY$, откуда получаем искомое равенство.