Олимпиадная задача: Четырехугольник вокруг эллипса

Докажем более сильное утверждение: пусть два перпендикулярных луча с началом $F$ пересекаю эллипс в точках $A$, $B$. Тогда геометрическим местом точек пересечения касательных к эллипсу в $A$ и $B$ будет коника с фокусом $F$.

Первый способ. При полярном преобразовании с центром $F$ эллипс перейдет в окружность, а точки $A$, $B$ в две перпендикулярных касательных к этой окружности. Хорды, соединяющие точки касания, касаются концентрической окружности, поэтому при обратном преобразовании они перейдут в точки коники с фокусом $F$. Заметим, что это рассуждение остается верным, если вместо прямого взять произвольный постоянный угол $AFB$. При этом отношение эксцентриситетов исходного эллипса и полученной коники равно $\cos(\angle AFB/2)$.

Второй способ. Воспользуемся следующим фактом: пусть $AB$ – хорда эллипса, проходящая через фокус $F$, $C$ – точка пересечения касательных в точках $A$, $B$. Тогда $CF\perp AB$.

Сделаем проективное преобразование, переводящее эллипс в окружность, а $F$ в ее центр. Тогда $AB$ перейдет в диаметр окружности, $C$ в бесконечную точку, перпендикулярную этому диаметру, а прямая $CF$ в перпендикулярный диаметр. Точки пересечения касательных в концах этих двух диаметров лежат на концентрической окружности. При обратном преобразовании эта окружность перейдет в конику, а ее центр и бесконечная прямая в фокус и директрису этой коники.