Пересечение прямых из точки в треугольнике

Рассмотрим точку $R$, изогонально сопряженную точке $Q$. Пусть прямые $AR$, $BR$, $CR$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$, $B_2$, $C_2$. Пусть также прямые $A_1P$, $B_1P$, $C_1P$ пересекают описанную окружность в точках $A_3$, $B_3$, $C_3$. Наконец, пускай $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Прямая $QR$ проходит через точку $X$ пересечения прямых $B_1A_2$ и $A_1B_2$ (теорема Паскаля для $BB_2A_1AA_2B_1$). Аналогично она проходит через точку $Y$ пересечения прямых $B_1C_2$ и $C_1B_2$.Следовательно, прямые $XY$ и $QR$ совпадают.

Прямая $PO$ проходит через $X$ (теорема Паскаля для $B_3B_1A_2A_3A_1B_2$ и то, что $A_3A_2$ – диаметр из симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне $BC$ точек $A_1$ и $A_2$), аналогично $PO$ проходит через $Y$. Откуда $PO$ совпадает с $XY$, а значит и с $QR$. Следовательно все такие прямые $PQ$ проходят через $O$.