Задача по олимпиадной математике: Окружности в треугольнике ABC

Пусть $R$ – точка пересечения касательных $AP$ и $CQ$. Докажем, что все прямые $PQ$ проходят через основание $D$ внешней биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$ (точка $D$ существует, так как треугольник неравнобедренный). По теореме, обратной к теореме Менелая, для треугольника $ARC$, достаточно проверить, что  $\frac{AP}{PR}\cdot\frac{RQ}{QC}\cdot\frac{CD}{DA}$ = 1.  Поскольку $RQ$ и $PR$ равны как касательные, достаточно проверить равенство    $\frac{AP}{QC} = \frac{AD}{DC}$.  Но  $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$  по свойству внешней биссектрисы, так что проверяем равенство  $\frac{AP}{QC} = \frac{AB}{BC}$. Пусть $AB$ и $BC$ пересекают окружность ω в точках $X$ и $Y$ соответственно. Запишем степени точек $A$ и $С$ относительно окружности ω:  $AX\cdot AB = AP^2$,  $CY\cdot CB = CQ^2$,  поэтому осталось проверить равенство  $\frac{AX}{AB} = \frac{CY}{CB}$,  а оно следует из того, что Ω переходит в ω при гомотетии с центром $B$.