Олимпиадная задача по математике: Инварианты и полуинварианты

Решение 1:Будем писать на доске удвоенные произведения длин и докажем, что их сумма меньше 1. Заведём вторую доску, на которой будем записывать квадраты всех отрезков разбиения. Вначале на ней записано число 1. В дальнейшем при разбиении отрезка длины $a$ на отрезки длин $b$ и $c$ на первой доске появится число 2$bc$, а на второй число  $a^2 = (b + c)^2$  заменится на $b^2$ и $c^2$. Таким образом, общая сумма чисел на обеих досках не изменится, то есть останется равной 1. Поскольку сумма чисел на второй доске положительна, сумма чисел на первой всегда будет меньше 1.

Решение 2:Построим на нашем отрезке как на стороне квадрат и проведём в нём диагональ, не содержащую точку 0.  Отметим точку $A_1$, разбив исходный отрезок на два. Произведение длин полученных отрезков равно площади заштрихованного прямоугольника, две противоположные вершины которого – 0 и точка на диагонали, лежащая на проведённом через $A_1$ перпендикуляре к стороне квадрата. Добавляя новые точки, мы будем добавлять на картинке новые прямоугольники, которые не накладываются друг на друга и все лежат по одну сторону диагонали. Поэтому их суммарная площадь (равная сумме чисел на доске) меньше половины площади квадрата, то есть ½.