Олимпиадная задача по математике: инварианты, алгебра, 6-7 класс, квадрат 3×3
В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)
Показать ответ
Нельзя.
Разобрать решение
Раскрасим все клетки в шахматном порядке (см. рисунок).
Назовём числабелыми(чёрными), если они стоят на белых (чёрных) клетках. Заметим, что в исходном квадрате сумма белых чисел равна сумме чёрных. Прибавляя к числам, стоящим в соседних клетках, одно и то же число, мы одинаково изменяем сумму белых и сумму чёрных чисел. Поэтому равенство сумм не нарушится. Но во втором квадрате сумма белых чисел равна 0, а сумма чёрных равна 4. Поэтому такой квадрат не может получиться из исходного.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.