Параллельность линий в треугольнике ABC

Решение 1:Рассмотрим отрезок $KL$, он является общей хордой окружностей, описанных около треугольников $BLK$ и $CLK$. Точка $A$ – середина $KL$, поэтому она лежит на линии центров $O_1O_2$ этих окружностей. Продлим $BA$ и $CA$ до пересечения с окружностями в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. В силу симметрии получившейся конструкции относительно прямой $O_1O_2$ отрезки $AB$ и $AC$ равны отрезкам $AB_1$ и $AC_1$ соответственно. Введём следующие обозначения: $BL =m$, $CL =n$, $BA =AB_1 =c$, $CA =AC_1 =b$, $AQ =x$, $AP =y$. По свойству секущей $m(m+n) =BL\cdot BC =BQ\cdot BC_1 =(BA-QA)\cdot BC_1 =(c-x)(b+c)$. Аналогично, для секущих $CB$ и $CB_1$ получаем $n(m+n) =(b-y)(b+c)$. Разделив одно равенство на другое, получим $\frac{m}{n} =\frac{c-x}{b-y}$. По свойству биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ получаем $\frac{m}{n} =\frac{BL}{LC} =\frac{AB}{AC} =\frac{c}{b}$. Отсюда $\frac{c}{b} =\frac{c-x}{b-y}$, или $c(b-y) =b(c-x)$. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем $cy =bx$, или $\frac{y}{b} =\frac{x}{c}$, откуда, по обратной теореме о пропорциональных отрезках, следует, что $QP\parallel BC$.

Решение 2:Отметим точки $B_1$ и $C_1$, симметричные точкам $B$ и $C$ относительно внешней биссектрисы угла $BAC$. Так как эта внешняя биссектриса перпендикулярна $KL$, она является серединным перпендикуляром к отрезку $KL$, т. е. совпадает с прямой $O_1O_2$, соединяющей центры окружностей. Поскольку $KL$ является общей хордой окружностей $(BLK)$ и $(CLK)$, при симметрии относительно $O_1O_2$ они переходят в себя, поэтому точки $B_1$ и $C_1$ лежат на $(BLK)$ и $(CLK)$ соответственно. Заметим, что $AB_1 \cdot AP = KA \cdot AL = AC_1 \cdot AQ$, поэтому $AB\cdot AP =AC\cdot AQ$, откуда $\frac{AB}{AQ} =\frac{AC}{AP}$. По обратной теореме о пропорциональных отрезках получаем $QP\parallel BC$. Это решение можно окончить иначе. Заметим, что из соотношения $AB_1 \cdot AP = AC_1 \cdot AQ$ следует, что четырехугольник $B_1QPC_1$ – вписанный, поэтому $\angle{AQP} = \angle{C_1B_1A} = \angle{ABC}$, откуда вытекает требуемое.