Планиметрическая задача о точках и окружностях треугольника

Обозначим вторую точку пересечения $PQ$ и окружности $(ABC)$ через $S$.

Тогда $\angle (BX, XC) = \angle (BX, XP) = \angle (BQ, QP) = \angle (BQ, QS)=\rm{const}$ (равенство в ориентированных углах). Получили, что угол $(BQ, QS)$, опирающийся на дугу $BS$ окружности $(ABC)$, постоянный, а значит и длина дуги $BS$ постоянна, и тогда точка $S$ не зависит от выбора окружности.