Задача № 203878
У Васи есть пластмассовый угольник (без делений) с углами 30°, 60° и 90. Ему нужно построить угол в 15°. Как это сделать, не используя других инструментов?
Панов М. Ю.
8 задачЗадача № 167348
Разность двух углов треугольника больше . Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.
Задача № 167007
Пусть — некоторая фиксированная точка на стороне треугольника ( отлична от и ). Произвольная окружность, проходящая через и , пересекает отрезок и описанную окружность треугольника в точках и , отличных от и . Докажите, что все возможные прямые проходят через одну точку.
Задача № 166329
В треугольнике провели биссектрису . Серединный перпендикуляр к стороне пересекает отрезок в точке . Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
Задача № 166225
На диагонали AC вписанного четырёхугольника ABCD взяли произвольную точку P и из неё опустили перпендикуляры PK, PL, PM, PN, PO на прямые AB, BC, CD, DA, BD соответственно. Докажите, что расстояние от P до KN равно расстоянию от O до ML.
Задача № 165797
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписали окружности; O1 и O2 – их центры; P1 и P2 – их точки касания с AC и BC. Докажите, что прямые O1P1 и O2P2 пересекаются на AB.
Задача № 165231
Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.
Задача № 136999
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, ∠AMB = 60°. На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL. Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках P и Q. Докажите, что PK = LQ.