Задание по олимпиадной математике: Федя и Ваня против высот

Заметим, что, если дана прямая на плоскости, то Федя может отметить достаточно много точек на ней, затем построить окружности с центрами в этих точках и отметить точки их пересечения и наконец, проведя прямые через точки пересечения пар окружностей,получить достаточно много прямых, перпендикулярных данной. Повторяя эти операции для перпендикулярной прямой,Федя получит много прямых, параллельных исходной прямой. Таким образом, Федя может построить много прямых, параллельных стороне $AB$ данного треугольника $ABC$ и отметить их точки пересечения $A_i$, $B_i$ с $BC$, $AC$ соответственно. Далее, строя окружности с центрами на $AC$, проходящие через точки $A_i$, и отмечая точки пересечения пар таких окружностей, Федя сможет построить точки, симметричные $A_i$ относительно $AC$, и перпендикуляры из $A_i$ на $AC$. Аналогично строятся перпендикуляры из точек $B_i$ на $BC$. Точки пересечения этих перпендикуляров – ортоцентры треугольников $CA_iB_i$ – лежат на высоте из вершины $C$.