Прямые и высоты треугольника: точка пересечения

Пусть $BB_1$ – высота из вершины $B$. По теореме Фалеса прямая $AA'$ делит отрезок $BB_1$ в отношении $BA':AB_1$, а прямая $CC'$ – в отношении $BC':CB_1$ (см. рис.). Докажем. что эти отношения равны. Вновь применяя теорему Фалеса, получаем $BA':CB_0=BA_1:A_1C$ и $BC':AB_0=BC_1:C_1A$. Так как $AB_0=CB_0$, искомое равенство можно переписать в виде $AB_1:B_1C=(AC_1:C_1B)\cdot (BA_1:A_1C)$, что непосредственно следует из теоремы Чевы.