Цены в треугольниках и их перпендикулярность

Рассмотрим случай остроугольного треугольника $ABC$, остальные случаи аналогичны. Так как $$\angle AOC=2\angle ABC=2(180^{\circ}-\angle A_1BC_1)=\angle A_1O_1C_1,$$ треугольники $AOC$ и $C_1O_1A_1$ подобны и одинаково ориентированы (см. рис.). Так как их соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$ перпендикулярны, $AO$ и $C_1O_1$ также перпендикулярны.