Олимпиадная задача о треугольнике и углах

Пусть $AH_A$ – высота треугольника, $M$ – ее середина, а $N$ – точка пересечения $AH_A$ с $BI$. Тогда точки $A'$, $I$, $M$ – проекции $K$ на прямые $BC$, $BI$, $AH_A$ соответственно – лежат на одной прямой, следовательно, четырехугольник $BKNH_A$ вписанный и $\angle BKH_A=\angle BNH_A=90^{\circ}-\angle B/2$.

Так как середина $M_C$ стороны $AB$ равноудалена от $B$ и $H_A$, а $M_CK\parallel BH_A$, то $\angle BKH_A < \angle BM_CH_A=180^{\circ}-2\angle B$, откуда и следует искомое неравенство.